Kemampuan Matematika Dasar yang Mendasari Proses Matematika Berdasarkan Draft PISA 2015

Satu dekade pengalaman dalam mengembangkan item PISA dan menganalisis bagaimana cara siswa dalam menanggapi item tersebut, telah mengungkapkan bahwa ada satu set kemampuan dasar matematika yang mendasari proses laporan ini dan  literasi matematis dalam praktek. Karya dari Mogens Niss dan rekannya Danish (Niss, 2003; Niss dan Jensen, 2002; Niss dan Højgaard, 2011) mengidentifikasi delapan  kemampuan yang disebut sebagai “kompetensi” oleh Niss dan dalam kerangka kerja tahun 2003 (OECD, 2003) berperan untuk perilaku matematika. Menggunakan kerangka PISA 2015 formulasi dimodifikasi dari set ini dari kemampuan , yang sebelumnya delapan diingkat menjadi tujuh berdasarkan penyelidikan kompetensi melalui pengoperasian yang sebelumnya diberikan item PISA(Turner et al., 2013).

Kemampuan kognitif tersedia untuk atau dipelajari oleh individu dalam rangka untuk memahami dan terlibat dengan dunia dengan cara matematika, atau untuk memecahkan masalah. Level literasi matematis dimiliki oleh peningkatan individu, sebagai individu yang mampu untuk menggambarkan tingkat peningkatan kemampuan matematika yang dasar (Turner dan Adams, 2012). Dengan demikian, peningkatan pergerakan kemampuan matematika dasar dikaitkan dengan meningkatnya kesulitan item. Pengamatan ini telah digunakan sebagai dasar deskripsi perbedaan kemahiran level literasi matematika yang telah dilaporkan sebelumnya pada survey PISA dan dibahas nanti dalam kerangka kerja ini.

Tujuh kemampuan matematika dasar yang digunakan dalam kerangka ini adalah sebagai berikut:

1.        Komunikasi

Literasi matematika melibatkan komunikasi. Individu merasakan adanya beberapa tantangan dan dirangsang untuk mengenali dan memahami situasi masalah. Membaca, menguraikan dan menafsirkan pernyataan, menanya, tugas atau objek yang memungkinkan individu untuk membentuk model mental dari situasi, yang merupakan langkah penting dalam memahami, mengklarifikasi dan merumuskan masalah. Selama proses mencari solusi, hasil lanjutan perlu diringkas dan disajikan. Kemudian setelah solusi telah ditemukan, pemecah masalah mungkin butuh penyajian solusi, dan menjelaskan atau membenarkan kepada orang lain.

2.        Matematis

Literasi matematika dapat mengubah masalah yang ada dalam dunia nyata menjadi bentuk matematika yang tepat (yang dapat mencakup susunan, konsep/pongertian, pengandaian, dan merumuskan model), atau menafsirkan atau mengevaluasi hasil matematika atau model matematis yang berhubungan dengan masalah asli. Istilah matematis digunakan untuk menggambarkan kegiatan matematika dasar yang terlibat.

3.        Gambaran

Literasi matematika sering kali melibatkan representasi objek dan situasi matematika. Ini bisa berarti memilih, menafsirkan, menerjemahkan antara, dan menggunakan berbagai representasi untuk mengungkap situasi, berinteraksi dengan masalah, atau untuk menyajikan salah satu pekerjaan. Representasi mencakup grafik, tabel, diagram, gambar, persamaan, rumus, dan bahan dasar.

4.        Penalaran dan Argumen

Kemampuan matematika terdiri dari bermacam tahap dan kegiatan yang berhubungan dengan literasi matematika yang dirujuk sebagai penalaran dan argumen. Kemampuan ini melibatkan awal proses pemikiran logis yang mengeksplorasi dan hubungan tiap masalah sehingga membuat kesimpulan dari tiap tahap tersebut, memeriksa pembenaran yang diberikan, atau memberikan pembenaran pernyataan atau solusi untuk masalah.

5.        Menemukan strategi untuk memecahkan masalah

Literasi matematika sering kali membutuhkan rancangan strategi untuk memecahkan masalah secara matematis. Hal ini melibatkan satu bentuk proses kontrol kritis yang membimbing seorang individu untuk secara efektif menyatakan, merumuskan dan memecahkan masalah. Keterampilan ini dicirikan sebagai tahap memilih atau merancang rencana atau strategi untuk menggunakan matematika untuk memecahkan masalah yang timbul dari tugas atau konteks, sebagai pedoman untuk pelaksanaannya. Kemampuan matematika ini dapat dilakukan pada setiap tahap proses pemecahan masalah.

6.        Menggunakan simbol, formal dan bahasa teknis serta operasi

Literasi matematika memerlukan penggunaan bahasa simbolik, formal dan bahasa teknis serta operasi. Ini melibatkan memahami, menafsirkan, memanipulasi, dan membuat penggunaan ekspresi simbolis dalam konteks matematika (termasuk ekspresi aritmatika dan operasi) diatur oleh konvensi matematika dan aturan. Ini juga melibatkan tahap memahami dan memanfaatkan konstruksi formal berdasarkan definisi, aturan dan sistem formal dan juga menggunakan algoritma dengan entitas ini. Simbol, peraturan, dan sistem yang digunakan akan bervariasi menurut konten pengetahuan yang dibutuhkan untuk tugas tertentu untuk merumuskan, memecahkan atau menafsirkan matematika.

7.        Menggunakan alat matamatika

Kemampuan matematika terakhir yang mendukung literasi matematika dialam praktik adalah menggunakan alat matematika. Alat matematika mencakup fisik alat seperti alat pengukur, kalkulator dan alat berbasis-komputer yang lebih luas. Kemampuan ini melibatkan pengetahuan dan kemampuan menggunakan berbagai alat tersebut. Alat matematika juga dapat memiliki peran penting dalam mengkomunikasikan hasil penyelesaian.

Kemampuan ini jelas untuk berbagai tahap dari tiga proses matematik. Cara dimana kemampuan ini menampakkan diri dalam tiga proses yang dijelaskan pada tabel. Lebih rinci tentang kemampuan ini, terutama karena mereka berhubungan dengan kesulitan item, dapat ditemukan di lampiran A. Selain itu, masing-masing contoh ilustratif yang disediakan dalam lampiran B menjelaskan bagaimana kemampuan mungkin diaktifkan oleh siswa yang memecahkan masalah tertentu itu.

Gambar 2 hubungan antara proses matematika (baris horisontal atas) dan kemampuan matematika dasar (paling kiri kolom vertikal)

	Merumuskan situasi matematika	Menggunakan konsep-konsep matematika, fakta, prosedur dan penalaran	Menafsirkan, menerapkan dan mengevaluasi hasil matematika
Komunikasi	Membaca, mendekode, dan membuat pernyataan yang masuk akal, pertanyaan, tugas, objek atau gambar, membentuk model situasi	Menyatakan solusi, menunjukkan prosrs yang terlibat dalam mencapai solusi dan/atau  meringkas serta mempresentasikan hasil penyelesaian matematika	Membangun dan mengkomunikasikan penjelasan dan argumen dalam konteks masalah
Matematis	Mengidentifikasi variabel matematika yang mendasari dan struktur dalam masalah  nyata serta membuat asumsi sehingga mereka dapat digunakan	Menggunakan pemahaman konteks untuk panduan atau mempercepat proses pemecahan matematika, misalnya bekerja untuk konteks sesuai tingkat akurasi	Memahami batas dan keterbatasan solusi matematika yang merupakan konsekuensi dari model matematika yang digunakan
Gambaran	Membuat representasi matematika dari informasi dunia nyata	Memahami, menghubungkan dan menggunakan berbagai representasi ketika berinteraksi dengan masalah	Menafsirkan hasil matematika dalam berbagai format dalam kaitannya dengan situasi atau kegunaan; membandingkan atau mengevaluasi dua atau lebih representasi dalam kaitannya dengan situasi
Penalaran dan Argumen	Menjelaskan, memberi penguatan atau memberikan pembenaran untuk representasi untuk situasi nyata.	Menjelaskan, membela atau memberikan pembenaran untuk proses dan  prosedur yang digunakan untuk menentukan hasil matematika atau solusi. Menghubungkan potongan-potongan informasi sampai di solusi matematika, membuat generalisasi atau membuat argumen multi-langkah	Merenungkan solusi matematika dan membuat penjelasan dan argumen yang mendukung, menyangkal atau memenuhi syarat solusi matematika untuk masalah kontekstual
Menemukan strategi untuk memecahkan masalah	memilih atau menyusun  rencana atau  strategi untuk memrancang ulang masalah kontekstual secara matematis	Mengaktifkan mekanisme kontrol yang efektif dan berkelanjutan di seluruh tahap multi-langkah mengarahkan  solusi matematika, kesimpulan atau generalisasi	Merancang dan menerapkan strategi untuk menafsirkan, mengevaluasi dan memvalidasi solusi matematika untuk masalah  kontekstual
Menggunakan simbol, formal dan bahasa teknis serta operasi	Menggunakan variabel yang sesuai, simbol, diagram dan  model standar  untuk mewakili sebuah masalah nyata menggunakan simbolik/ bahasa formal	Memahami dan memanfaatkan konstruksi formal yang didasarkan pada definisi, aturan dan sistem formal serta menggunakan algoritma	Memahami hubungan antara konteks masalah  dan solusi matematika. Menggunakan pemahaman ini untuk membantu mengintepretasikan solusi dalam  konteks dan mengukur kelayakan dan kemungkinan solusi
Menggunakan alat matematika	Menggunakan alat-alat matematika untuk mengenali struktur matematika atau untuk menggambarkan hubungan matematis	Tahu dan dapat menggunakan alat yang dapat membantu dalam melaksanakan proses dan  prosedur untuk menentukan solusi matematika	Menggunakan alat-alat matematika untuk memastikan kewajaran solusi matematika dan setiap batas dan kendala pada solusi itu, mengingat konteks masalah.

Kemampuan matematika dasar yang mendasari proses matematika ini saya translate dari Draft PISA 2015 Mathematics Framework halaman 12 sampai 15.

Read More

Cara Menggambar Grafik dengan Geogebra

GeoGebra adalah software matematika yang dinamis dan bersifat open source (free) untuk pembelajaran dan pengajaran matematika di sekolah. GeoGebra dikembangkan oleh Markus Hohenwarter dan tim pemrograman internasional. Mereka melakukan pekerjaan yang brilliant dan kita sebagai guru matematika dan dosen harus memberikan hormat kepada mereka. GeoGebra mengkombinasikan geometri, aljabar, statistic dan kalkulus. Anda dapat mendownloadnya secara bebas. Tutorial ini diterjemahkan secara bebas oleh Syaiful Hamzah Nasution dari tutorial yang ditulis oleh  Gerit Stols dalam Karyanya GeoGebra in 10 Lessons dengan beberapa modifikasi.  Download GeoGebra dari http://www.geogebra.org

Menggambar Grafik

Untuk menggambar grafik melalui geogebra kita bisa melakukan langkah-langkah sebagai berikut :

• Buka aplikasi geogebra

• Anda dapat membuat dan memodifikasi koordinat secara aljabar dan persamaan-persamaan dengan menggunakan Input Bar pada bagian bawah dari GeoGebra Window.
•  Jika ingin mengganti skala klik pojok kanan seperti gambar di bawah ini

Lalu pilih graphics, akan mucul gambar berikut

Atur skala sesuai dengan keinginan pada kotak xMin xMax dan yMin yMax

·   Contoh persamaan:

Konstruksilah grafik berikut

a.       3x + 2y = 6

b.      y = 3x² – 4x – 6

c.       x² + 3x – 2y² – 3y =25

d.     

e.       y= 2.3^x+2 - 1

·         Tekan tombol enter pada keyboard setelah mengetik masing-masing persamaan

Disini kita mencontohkan soal materi Aritmatika Sosial, ingin tahu bagaimana grafiknya??? Yuk intip link dibawah ini : 
http://www.4shared.com/file/l6zNE5Ncce/grafik_soal_no_1.html?
http://www.4shared.com/file/yQEFQ6Lvce/grafik_soal_no_2.html?

Contoh Soal :

1.      Harga 2 buah buku dan 2 buah pensil RP 8.800,00. Jika harga sebuah buku Rp 600,00 lebih murah daripada harga sebuah pensil, maka harga sebuah buku adalah......

2.      Lia membeli sebuah kue A dan 3 buah kue B dengan harga Rp 1.400,00. Pada tempat yang sama Mety membeli 3 buah kue A dan 4 buah kue B dengan harga Rp 1.950,00. Jika Nova membeli 1 buah kue A dan 1 buah kue B kemudian ia membayar dengan selembar uang Rp 1.000,00, maka uang yang dikembalikan adalah......

  

Pembahasan :

1. Misal :

          Harga buku     = x

          Harga pensil    = y

          2x + 2y = 8800           jadi       x + y = 4400....... (kedua ruas dibagi 2)

          x   = y – 600       jadi       y – x = 600

                                                    2y = 5000

                                                     y  = 2500  

            jadi, (x,y) = (1900;2500)

            maka harga buku  Rp 1900    

     2.    2x + 3y = 1400

            3x + 4y = 1950

            Kembalian x + y, jika dibayar 1000?

       2x + 3y = 1400            x3        6x + 9y = 4200           

       3x + 4y = 1950            x2        6x + 8y = 3900
       y = 300

2x + 3y       = 1400    2x + 3. 300 = 1400             2x          = 1400 – 900             2x          = 500              x           = 250       Maka (x,y) = (250, 300)       x + y = 250 + 300                = 550       Jadi, dengan membanyar 1000 – 550, kembalinya adalah 450

    

Read More